Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$a_{11} = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{11} = 0 - 1$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$a_{11} = - 1$

Étape 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 0 - (- 3 \cdot 1)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$a_{12} = 0 - (- 3 \cdot 1)$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$a_{12} = 0 - - 3$

Étape 2.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{12} = 0 + 3$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$a_{12} = 3$

Étape 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot 1 - (- 3 \cdot 2)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a_{13} = 2 - (- 3 \cdot 2)$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$a_{13} = 2 - - 6$

Étape 2.3.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$a_{13} = 2 + 6$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$a_{13} = 8$

Étape 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{21} = 0 - 3$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$a_{21} = - 3$

Étape 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 0 - (- 3 \cdot 3)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$a_{22} = 0 - (- 3 \cdot 3)$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$a_{22} = 0 - - 9$

Étape 2.5.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$a_{22} = 0 + 9$

Étape 2.5.2.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$a_{22} = 9$

Étape 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 0)$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a_{23} = 1 - (- 3 \cdot 0)$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$a_{23} = 1 - 0$

Étape 2.6.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a_{23} = 1 + 0$

Étape 2.6.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$a_{23} = 1$

Étape 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$a_{31} = 0 - 2 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a_{31} = 0 - 6$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$a_{31} = - 6$

Étape 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a_{32} = 1 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a_{32} = 1 - 6$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$a_{32} = - 5$

Étape 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a_{33} = 2 - 2 \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$a_{33} = 2 + 0$

Étape 2.9.2.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$a_{33} = 2$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & 8 \\ 3 & 9 & - 1 \\ - 6 & 5 & 2 \end{array}]$

Étape 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & - 6 \\ - 3 & 9 & 5 \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]$